{"what":"The alphaevolve-nb-matmul pool of the hundred pre-registered machine claims (corpus/machine-claims-100.json, registered 2026-10-02 before any was decided), decided by tools/run-mc100-tensors.js: every row the manifest names, its bytes re-hashed against the pin, its factors transcribed exactly and every tensor-identity equation decided by instruments/strassen/tensor.js and re-decided in BigInt. `entries` is the detached certificate of every CERTIFIED row: python3 tools/verify_strassen.py certs/mc100-alphaevolve-nb-matmul.json --sources corpus/sources re-derives each with the Python standard library alone. The claimant's code is never run.","pool":"alphaevolve-nb-matmul","manifest":"corpus/machine-claims-100.json","registered":"2026-10-02","decider":"instruments/strassen/tensor.js (audit, auditZi; BigInt cross-check in full) · second implementation: tools/verify_strassen.py on this file","transcriber":"tools/convert_alphaevolve.js (convertPartA)","rows":[{"id":"ae-nb-2x4x5-r32","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-32 decomposition of <2,4,5> over 0.5*Z\" is a decomposition of that tensor of rank 32 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-32 decomposition of <2,4,5>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 1,600 tensor-identity equations, exactly, over (1/2)Z, decided as the integer identity 8·T after the factors were scaled by 2·2·2 (so the scheme holds over every commutative ring in which 2 is invertible) — C-layout CA; rank 32 < 40 naive","decision":{"heading":"Rank-32 decomposition of <2,4,5> over 0.5*Z","cell":"notebook cell 6 (decomposition_245)","dims":[2,4,5],"rank":32,"naive":40,"claimedRing":"0.5*Z","decidedOver":"Q","scale":8,"denominators":[2,2,2],"layout":"CA","equations":1600,"coefficients":["-0.5","-1","-2","0","0.5","1","2"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":16},{"id":"ae-nb-2x4x7-r45","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-45 decomposition of <2,4,7> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 45 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-45 decomposition of <2,4,7>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 3,136 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 45 < 56 naive","decision":{"heading":"Rank-45 decomposition of <2,4,7> over Z","cell":"notebook cell 9 (decomposition_247)","dims":[2,4,7],"rank":45,"naive":56,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":3136,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":18.6},{"id":"ae-nb-2x4x8-r51","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-51 decomposition of <2,4,8> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 51 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-51 decomposition of <2,4,8>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 4,096 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 51 < 64 naive","decision":{"heading":"Rank-51 decomposition of <2,4,8> over Z","cell":"notebook cell 12 (decomposition_248)","dims":[2,4,8],"rank":51,"naive":64,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":4096,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":26.2},{"id":"ae-nb-2x5x6-r47","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-47 decomposition of <2,5,6> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 47 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-47 decomposition of <2,5,6>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 3,600 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 47 < 60 naive","decision":{"heading":"Rank-47 decomposition of <2,5,6> over Z","cell":"notebook cell 15 (decomposition_256)","dims":[2,5,6],"rank":47,"naive":60,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":3600,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":9.4},{"id":"ae-nb-3x3x3-r23","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-23 decomposition of <3,3,3> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 23 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-23 decomposition of <3,3,3>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 729 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 23 < 27 naive","decision":{"heading":"Rank-23 decomposition of <3,3,3> over Z","cell":"notebook cell 18 (decomposition_333)","dims":[3,3,3],"rank":23,"naive":27,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":729,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":8.5},{"id":"ae-nb-3x4x6-r54","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-54 decomposition of <3,4,6> over 0.5*Z\" is a decomposition of that tensor of rank 54 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-54 decomposition of <3,4,6>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 5,184 tensor-identity equations, exactly, over (1/2)Z, decided as the integer identity 8·T after the factors were scaled by 2·2·2 (so the scheme holds over every commutative ring in which 2 is invertible) — C-layout CA; rank 54 < 72 naive","decision":{"heading":"Rank-54 decomposition of <3,4,6> over 0.5*Z","cell":"notebook cell 21 (decomposition_346)","dims":[3,4,6],"rank":54,"naive":72,"claimedRing":"0.5*Z","decidedOver":"Q","scale":8,"denominators":[2,2,2],"layout":"CA","equations":5184,"coefficients":["-0.5","-1","0","0.5","1","2"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":9.9},{"id":"ae-nb-3x4x7-r63","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-63 decomposition of <3,4,7> over 0.5*C\" is a decomposition of that tensor of rank 63 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-63 decomposition of <3,4,7>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 7,056 tensor-identity equations, exactly, over (1/2)Z[i], decided as the Gaussian-integer identity 8·T after the factors were scaled by 2·2·2, imaginary part exactly 0 — C-layout CA; rank 63 < 84 naive","decision":{"heading":"Rank-63 decomposition of <3,4,7> over 0.5*C","cell":"notebook cell 24 (decomposition_347)","dims":[3,4,7],"rank":63,"naive":84,"claimedRing":"0.5*C","decidedOver":"Zi","scale":8,"denominators":[2,2,2],"layout":"CA","equations":7056,"coefficients":["-0.5+0i","-1+0i","0+0.5i","0+0i","0+1i","0-0.5i","0-1i","0.5+0i","1+0i"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":169.4},{"id":"ae-nb-3x4x8-r74","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-74 decomposition of <3,4,8> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 74 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-74 decomposition of <3,4,8>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 9,216 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 74 < 96 naive","decision":{"heading":"Rank-74 decomposition of <3,4,8> over Z","cell":"notebook cell 27 (decomposition_348)","dims":[3,4,8],"rank":74,"naive":96,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":9216,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":12.3},{"id":"ae-nb-3x5x6-r68","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-68 decomposition of <3,5,6> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 68 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-68 decomposition of <3,5,6>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 8,100 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 68 < 90 naive","decision":{"heading":"Rank-68 decomposition of <3,5,6> over Z","cell":"notebook cell 30 (decomposition_356)","dims":[3,5,6],"rank":68,"naive":90,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":8100,"coefficients":["-1","-2","0","1","2"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":11.7},{"id":"ae-nb-3x5x7-r80","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-80 decomposition of <3,5,7> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 80 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-80 decomposition of <3,5,7>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 11,025 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 80 < 105 naive","decision":{"heading":"Rank-80 decomposition of <3,5,7> over Z","cell":"notebook cell 33 (decomposition_357)","dims":[3,5,7],"rank":80,"naive":105,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":11025,"coefficients":["-1","-2","0","1","2"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":13.2},{"id":"ae-nb-4x4x8-r96","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-96 decomposition of <4,4,8> over 0.5*C\" is a decomposition of that tensor of rank 96 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-96 decomposition of <4,4,8>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 16,384 tensor-identity equations, exactly, over (1/2)Z[i], decided as the Gaussian-integer identity 8·T after the factors were scaled by 2·2·2, imaginary part exactly 0 — C-layout CA; rank 96 < 128 naive; the object is not printed; rebuilt here from the printed recipe and the printed <4,4,4>","decision":{"heading":"Rank-96 decomposition of <4,4,8> over 0.5*C","cell":"notebook cell 38 (prose only)","dims":[4,4,8],"rank":96,"naive":128,"claimedRing":"0.5*C","decidedOver":"Zi","scale":8,"denominators":[2,2,2],"layout":"CA","equations":16384,"coefficients":["-0.5+0.5i","-0.5+0i","-0.5-0.5i","0+0.5i","0+0i","0-0.5i","0.5+0.5i","0.5+0i","0.5-0.5i"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)","rebuilt":"not printed: the notebook says \"This decomposition can be obtained by doubling the rank-48 decomposition of <4,4,4> provided above.\" — rebuilt here from the printed rank-48 <4,4,4> (cell 36), one copy per 4-column block of B, and the rebuild decided"},"ms":152.8},{"id":"ae-nb-4x4x5-r61","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-61 decomposition of <4,4,5> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 61 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-61 decomposition of <4,4,5>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 6,400 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 61 < 80 naive","decision":{"heading":"Rank-61 decomposition of <4,4,5> over Z","cell":"notebook cell 41 (decomposition_445)","dims":[4,4,5],"rank":61,"naive":80,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":6400,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":10.9},{"id":"ae-nb-4x4x7-r85","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-85 decomposition of <4,4,7> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 85 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-85 decomposition of <4,4,7>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 12,544 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 85 < 112 naive","decision":{"heading":"Rank-85 decomposition of <4,4,7> over Z","cell":"notebook cell 44 (decomposition_447)","dims":[4,4,7],"rank":85,"naive":112,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":12544,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":14.2},{"id":"ae-nb-4x5x6-r90","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-90 decomposition of <4,5,6> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 90 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-90 decomposition of <4,5,6>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 14,400 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 90 < 120 naive","decision":{"heading":"Rank-90 decomposition of <4,5,6> over Z","cell":"notebook cell 47 (decomposition_456)","dims":[4,5,6],"rank":90,"naive":120,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":14400,"coefficients":["-1","-2","0","1","2"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":14.3},{"id":"ae-nb-5x5x5-r93","pool":"alphaevolve-nb-matmul","claimant":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131)","claim":"the notebook's \"Rank-93 decomposition of <5,5,5> over Z\" is a decomposition of that tensor of rank 93 over that ring","source":"corpus/sources/alphaevolve_mathematical_results.ipynb (google-deepmind/alphaevolve_results @ 4226acb), section \"Rank-93 decomposition of <5,5,5>\"","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff","verdict":"CERTIFIED","kind":"none","scope":"every one of the 15,625 tensor-identity equations, exactly, over Z (an integer identity, so the scheme holds over every commutative ring) — C-layout CA; rank 93 < 125 naive","decision":{"heading":"Rank-93 decomposition of <5,5,5> over Z","cell":"notebook cell 50 (decomposition_555)","dims":[5,5,5],"rank":93,"naive":125,"claimedRing":"Z","decidedOver":"Q","scale":1,"denominators":[1,1,1],"layout":"CA","equations":15625,"coefficients":["-1","0","1"],"bigInt":"VERIFIED (layout CA)"},"ms":13.9}],"count":15,"byVerdict":{"CERTIFIED":15},"byKind":{"none":15},"timing":{"runMs":533.7,"rowMsTotal":501.3},"layoutNote":"layout AC: k = a*p + c; layout CA: k = c*n + a.","sourcePins":{"alphaevolve_mathematical_results.ipynb":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"},"entries":[{"id":"ae-nb-2x4x5-r32","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-32 decomposition of <2,4,5> over 0.5*Z","dims":[2,4,5],"rank":32,"naive":40,"ring":"Q","layout":"CA","scale":8,"statement":"ae-nb-2x4x5-r32: 2x4 times 4x5 in 32 multiplications VERIFIED over Q — all 1600 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,1,0,1,0,0,1,0,-1,-1,0,-1,0,0,1,0,1,-2,-1,0,-1,0,1,0,-1,1,-2,0,1,0,1,0],[1,-1,0,1,0,1,-1,0,0,-1,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,0,1,-1,1,0,0,-1,-1,0,0,1,1,0,0,0,0,0],[-1,0,1,-2,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,-1,-1,1,0,1,-2,0,1,0,-1,0,-1,-1],[0,1,0,1,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,1,0,0,0],[-1,-1,0,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,0,1,-1,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,-1,1,-1,0,0,-1,1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,0,0,-1,0,0],[1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,0]],"V":[[1,0,0,0,0,-1,0,0,2,0,0,0,1,-1,1,0,0,-1,0,1,-1,0,-1,-1,0,0,1,0,-2,0,1,0],[1,0,0,2,0,1,4,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,-2,0,-1,0,0,0,-1,0],[1,0,0,0,0,-1,0,-2,0,0,2,2,1,-1,-1,0,-2,1,2,1,-1,0,1,-1,0,2,-1,-4,0,0,1,0],[-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-2,-1,1,-1,0,0,-1,0,-1,1,0,1,1,0,-2,1,0,0,0,-1,0],[0,0,0,2,0,-2,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,0,-2,0,-2,0,0,0,2,2,0,0,0,0,-2,-2],[1,-4,0,2,0,-1,0,0,2,0,0,0,1,-1,1,2,0,-1,0,1,1,0,-1,-1,-2,0,1,0,-2,0,-1,-2],[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,-2,0,1,0,1,-1,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,1,2],[-1,0,0,0,0,-1,0,2,0,0,-2,0,1,1,1,0,0,-1,0,-1,1,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,-1,0],[1,0,0,0,0,1,0,0,0,4,0,0,-1,-1,1,0,2,1,-2,1,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0],[0,0,0,-2,0,-2,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,2,-2,0,-2,0,2,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,2,2],[0,0,0,-1,0,1,0,0,2,0,0,1,1,0,2,1,1,-2,1,0,1,4,2,0,-1,-1,-2,0,2,0,1,1],[0,0,0,1,4,-1,0,0,0,0,0,1,-1,2,0,1,1,0,1,0,-1,0,0,-2,1,-1,0,0,0,0,-1,1],[0,0,0,-1,0,1,0,-2,0,0,-2,-1,1,0,0,1,-1,0,-1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,1],[0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,-2,-1,-1,0,-1,0,-1,0,-2,0,1,-1,0,0,0,0,-1,-1],[-2,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,-2,2,2,0,0,-2,0,-2,2,0,-2,2,0,0,2,0,0,0,-2,0],[0,0,0,-1,0,1,0,0,2,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,2,0,-1,1],[-2,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,-1,0,-1,2,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,-1],[2,0,0,1,0,1,0,2,0,0,2,1,1,-2,0,-1,1,0,1,-2,-1,0,0,2,1,-1,0,0,0,4,-1,-1],[0,0,4,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,-1,-2,-1,0,1,0,0,0,1,-1,-2,0,0,0,1,-1],[-2,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,-2,2,-2,0,0,2,0,-2,-2,0,2,2,0,0,-2,0,0,0,2,0]],"W":[[0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,2,-1,0,0,1,0,-1,0,0,0,2,0],[0,1,-1,-1,0,0,-1,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-2,-1,0,0,-1,0,1,0,-2,0,-2,0],[0,1,0,1,2,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,2],[-2,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-2,0,-2,0,0,0,2,0,0,0,-2,1,0,0,0,0,-2,0,2],[0,0,0,0,2,-2,0,-2,0,-2,-2,0,-2,2,0,0,-2,0,-2,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,-2,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,0,1,0,0,0,-1,2,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-2,0,2,1,2,0,0,-1,2,0,0,2,-1,-2,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,1,-1,1,1,-1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,-1,1],[-1,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,0,-1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,0,1,1,-1,-1,-1,0,1,0,1,1]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-2x4x7-r45","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-45 decomposition of <2,4,7> over Z","dims":[2,4,7],"rank":45,"naive":56,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-2x4x7-r45: 2x4 times 4x7 in 45 multiplications VERIFIED over Q — all 3136 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,-1,-1,0,1,1,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,1,-1,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1],[0,0,0,0,1,1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,-1,-1,-1,0],[0,1,0,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[-1,-1,-1,0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0],[1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,1,-1,0,1],[-1,0,0,-1,1,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,0,-1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0]],"V":[[0,0,0,1,1,1,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0],[0,1,1,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,-1,1,0,0,-1,0,-1],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0],[0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1],[-1,0,-1,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,-1,-1,0,-1,-1,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,-1,-1,0,0,1,0,-1,0,0,1,0,-1,0,0,0,1,-1,-1,0,1,0,0],[0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1],[-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,0],[-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0],[-1,-1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0],[1,1,0,0,-1,-1,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-2x4x8-r51","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-51 decomposition of <2,4,8> over Z","dims":[2,4,8],"rank":51,"naive":64,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-2x4x8-r51: 2x4 times 4x8 in 51 multiplications VERIFIED over Q — all 4096 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,1,-1,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,1,-1,0,-1,0],[-1,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1],[0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,1,0,1,1,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,0,0],[0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,1,0,0,-1,1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0]],"V":[[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0],[0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0],[0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,1,-1,0,0,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,-1,-1,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,-1,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0,0],[0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,-1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-2x5x6-r47","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-47 decomposition of <2,5,6> over Z","dims":[2,5,6],"rank":47,"naive":60,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-2x5x6-r47: 2x5 times 5x6 in 47 multiplications VERIFIED over Q — all 3600 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,0],[-1,-1,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0],[0,0,-1,-1,-1,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,1,0],[0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0],[0,0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0],[1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,-1,-1,1,0,0,1]],"V":[[0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,-1,-1,-1,1,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,-1,0,-1,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,0,0,0],[1,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,0,0,-1],[1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]],"W":[[0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,-1,0,0,0,0],[0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,0,0,-1,-1,0,0],[-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,-1,1],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,0,-1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-3x3x3-r23","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-23 decomposition of <3,3,3> over Z","dims":[3,3,3],"rank":23,"naive":27,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-3x3x3-r23: 3x3 times 3x3 in 23 multiplications VERIFIED over Q — all 729 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0],[0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0],[1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0]],"V":[[0,0,-1,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,-1,-1,0,0,0,1,0,1,1,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,1,1,0,1],[0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,0,-1,0,0,0,1],[0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0]],"W":[[0,1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0],[0,0,1,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,1],[1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,-1]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-3x4x6-r54","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-54 decomposition of <3,4,6> over 0.5*Z","dims":[3,4,6],"rank":54,"naive":72,"ring":"Q","layout":"CA","scale":8,"statement":"ae-nb-3x4x6-r54: 3x4 times 4x6 in 54 multiplications VERIFIED over Q — all 5184 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[1,0,0,0,-2,2,0,2,-2,0,0,0,1,2,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,2,-2,2,1,-1,0,0,1,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,1,-2,2,-2,0,2,0,-2],[1,0,0,0,2,2,0,2,2,0,0,0,1,-2,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,2,2,-2,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,1,0,0,-2,0,2,0,0],[-1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-2,0,-2,0,0,2,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,-2,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,2,0,0,-2,2,0,-2,2,0,0,0,1,-2,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,2,0,-1,-1,-2,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,2,0,2,0,0],[-1,0,-2,-1,0,0,-2,0,0,-2,-2,-2,0,0,1,-2,-1,0,0,-1,1,0,0,-1,2,0,0,-2,0,0,0,0,0,-1,0,2,0,-1,1,0,-2,-1,0,0,0,0,0,0,0,2,1,0,-2,0],[-1,0,0,-1,0,0,2,0,0,2,-2,0,0,0,-1,2,1,0,0,-1,-1,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,0,0,1,0,2,0,-1,-1,0,2,1,0,0,0,0,0,0,0,2,1,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,2,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,-2,1,0,0,2,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,2,2,0,2,-2,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,1,0,0,-1,1,1,2,-2,1,0,-1,0,0,1,0,0,-2,1,0,0,0],[0,0,2,1,-2,2,0,0,-2,0,0,1,1,0,0,0,0,-1,-2,1,0,2,0,0,-1,0,-2,0,0,0,0,0,0,1,0,-2,0,1,0,0,0,1,2,0,2,0,0,-2,1,0,0,0,0,-1],[0,0,0,1,2,-2,0,0,2,0,0,1,1,0,0,0,0,-1,-2,1,0,-2,0,0,-1,0,2,0,0,0,0,0,0,-1,0,-2,0,1,0,0,0,1,-2,0,-2,0,0,0,-1,0,0,0,0,1],[0,2,0,0,0,0,0,0,0,2,-2,-1,0,-2,0,0,0,1,0,-1,0,-2,1,0,0,0,2,0,0,0,0,-2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,0,2,0,1],[0,2,0,1,-2,2,0,0,2,-2,2,0,1,-2,0,0,0,0,2,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,2,0,0,2,0,0,1,0,0,2,0,0]],"V":[[0,0,0,-2,0,0,0,0,0,1,-2,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,-2],[0,0,-2,0,0,0,0,0,-2,0,0,-2,2,-1,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-2,0],[-2,0,-2,0,0,-2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,-2,0,0,2,0,-2,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,-2,1,-2,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,2,0,0,0,0,0,-1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2],[0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,2,-2,0,0,0,0,0],[-2,0,0,0,0,0,0,2,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2,2,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-2,2,-1,0,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,2,0,0,0,-2,0,0,2],[0,-1,2,2,0,0,0,0,0,0,0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,2,-2,0,-1,0,0,0,-1,2,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,-2,-2,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,-1,0,0,0,0,0,-2,2,0,0,-2,-2,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,0,0,2,-2,0,0,1,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,-2,0],[-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,2,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-2,0,0,-2,-2,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,2,2,0,0,0,2,0,-2,0,0,-1,0,2,0,1,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,2,-2,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-2,-2,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,2,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[2,0,0,-2,0,0,0,2,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,-2,0,0,-2,0,0,2,2,0,0,0],[0,1,0,2,0,0,0,0,-2,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,0,1,0,0,0,0,-2,0,2,-2,0,-1,0,0,0,-1,2,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,2,0,-1,2,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,0,2,-2,-2,4,0,1,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-2,0,0,-2,1,0,0,-2,0,0,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,0,0,2,-2,0,0,0,0,-2,0,2,0,-2,0,0,-2,-2,0,0,0,0,1,-2,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,-2,0,0,0,-2,0,2,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-2,0,0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,0,2],[0,2,-2,0,-2,-2,0,0,0,-2,0,0,-2,0,0,-2,4,0,-2,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,0,0,0,2,0,-2,0,0,0,-2,0,0,0,2,1,0,0,0,0,2,-2,0,0,-2,0,0],[-2,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,-2,0,0,2,0,0,-2,-2,0,0,0],[0,1,0,2,0,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,-2,0,-2,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-2,2,0,1,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,-1,2,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,2,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,0,0,2,2,0,0,-1,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-2,0,0,-2,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,2,-2,0,0,0,0,1,-2,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,2,2,0,0,2,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2],[0,0,-2,0,2,-2,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,0,-2,1,0,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,0,0,2,0,0,0,0,1,0,0,0,-2,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-2,0,2,0],[0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-2,2,0,-2,0,0,2],[0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,2,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,2,0,0],[0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,-2,0,-2,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2,-2,0,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,2,0,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,-2,0,2,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0],[0,0,2,0,0,0,0,0,1,0,0,-2,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,2,0,1,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,0,0,0,0,-2,0,-2,0,1,0,2,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[2,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,-2,0,0,-2,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,-2,0,2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,2,-1,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,-2,0,-2,0,0,0,0,0,-2,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,2,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,2],[0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,2,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0],[-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,1,0,0,0,0,0,-2,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,2,-2,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-3x4x7-r63","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-63 decomposition of <3,4,7> over 0.5*C","dims":[3,4,7],"rank":63,"naive":84,"ring":"Zi","layout":"CA","scale":8,"statement":"ae-nb-3x4x7-r63: 3x4 times 4x7 in 63 multiplications VERIFIED over Zi — all 7056 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[[0,0],[-2,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[-2,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0]],[[-2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,2],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[2,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,-1],[0,0],[2,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[2,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,-2],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[2,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[2,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,-2],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[2,0],[2,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[1,0],[0,1],[1,0],[1,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,2],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[-2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]]],"V":[[[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0]],[[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0]],[[0,0],[0,-2],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,2],[0,-2],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,2],[-1,0],[0,1],[-2,0],[0,1],[0,1],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,2],[0,1],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,2],[-1,0],[0,2],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,2],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0]],[[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,2],[0,0],[2,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[1,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,1],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[2,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-2],[0,2],[0,0],[0,0]],[[-2,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[1,0],[2,0],[0,0],[0,2],[-2,0],[0,-1],[0,0],[2,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,2],[0,0],[-1,0],[0,0],[-2,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,2],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,2],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,2],[-2,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,-2],[2,0],[0,2],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[2,0],[0,0],[0,2],[0,-1],[-2,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[2,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,2],[-2,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[2,0],[0,0]]],"W":[[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0]],[[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[-2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[2,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,-2],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0]],[[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[-2,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,-2],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[2,0],[0,2],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0]],[[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0]],[[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[0,0],[0,2],[0,-2],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-2,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-2],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[2,0],[0,0],[0,0],[0,2],[0,0],[0,0]]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-3x4x8-r74","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-74 decomposition of <3,4,8> over Z","dims":[3,4,8],"rank":74,"naive":96,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-3x4x8-r74: 3x4 times 4x8 in 74 multiplications VERIFIED over Q — all 9216 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[1,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,1,1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,-1,0,0,-1,-1,0,0,0,1,-1,-1,1,0,0,0,0,-1],[0,0,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,0,1,0,-1],[-1,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1],[0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,-1,-1,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,-1,1,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0],[-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0]],"V":[[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1],[0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-3x5x6-r68","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-68 decomposition of <3,5,6> over Z","dims":[3,5,6],"rank":68,"naive":90,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-3x5x6-r68: 3x5 times 5x6 in 68 multiplications VERIFIED over Q — all 8100 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0],[-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1],[0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,1],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,1,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,-1],[1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,1,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0]],"V":[[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,1,-1,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-2,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1],[0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0]],"W":[[0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,-1,0,0,-1,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0],[0,0,-1,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0],[0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1],[0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,-1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,1,-1,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-3x5x7-r80","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-80 decomposition of <3,5,7> over Z","dims":[3,5,7],"rank":80,"naive":105,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-3x5x7-r80: 3x5 times 5x7 in 80 multiplications VERIFIED over Q — all 11025 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1],[-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1],[0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,0,0],[1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,-1],[0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,1],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0]],"V":[[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0],[1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,-1,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0],[0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-2,0,0,0,0,0,0],[0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,1,0],[0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0],[0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0],[0,0,-1,1,1,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,-1,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0],[1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,1,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1],[-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,-1,-1,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-4x4x8-r96","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-96 decomposition of <4,4,8> over 0.5*C (rebuilt from the printed <4,4,4> by the notebook's doubling recipe)","dims":[4,4,8],"rank":96,"naive":128,"ring":"Zi","layout":"CA","scale":8,"statement":"ae-nb-4x4x8-r96: 4x4 times 4x8 in 96 multiplications VERIFIED over Zi — all 16384 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[[1,1],[1,1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,-1],[-1,1],[-1,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,1],[1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[1,-1],[1,1],[0,1],[0,0],[-1,1],[1,-1],[1,0],[1,1],[1,1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,-1],[-1,1],[-1,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,1],[1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[1,-1],[1,1],[0,1],[0,0],[-1,1],[1,-1],[1,0]],[[1,1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[1,-1],[1,0],[1,1],[1,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[1,1],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[1,-1],[1,0],[1,1],[1,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[1,1],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,1]],[[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[-1,1],[1,0],[-1,1],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[-1,-1],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[1,1],[1,0],[0,0],[0,0],[1,1],[0,-1],[1,1],[0,-1],[-1,0],[1,-1],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[-1,1],[1,0],[-1,1],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[-1,-1],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[1,1],[1,0],[0,0],[0,0],[1,1],[0,-1],[1,1],[0,-1],[-1,0],[1,-1],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,1]],[[0,0],[-1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[0,-1],[-1,1],[1,-1],[-1,0],[1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,-1],[0,1],[1,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,-1],[-1,1],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[-1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[0,-1],[-1,1],[1,-1],[-1,0],[1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,-1],[0,1],[1,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,-1],[-1,1],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[1,1],[0,-1]],[[1,-1],[1,1],[0,0],[0,1],[-1,1],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[1,0],[1,1],[-1,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[-1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,1],[-1,1],[1,-1],[1,0],[0,0],[1,1],[1,-1],[0,1],[1,-1],[1,1],[0,0],[0,1],[-1,1],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[1,0],[1,1],[-1,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[-1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,1],[-1,1],[1,-1],[1,0],[0,0],[1,1],[1,-1],[0,1]],[[1,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[1,1],[1,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[-1,1],[1,-1],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,1],[0,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,-1],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[-1,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[-1,1],[-1,0],[-1,-1],[0,1],[1,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[1,1],[1,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[-1,1],[1,-1],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,1],[0,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,-1],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[-1,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[-1,1],[-1,0],[-1,-1],[0,1],[1,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,-1],[-1,1],[0,1],[1,-1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[-1,-1],[1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[-1,1],[0,-1],[0,1],[-1,1],[-1,1],[-1,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,-1],[-1,1],[0,1],[1,-1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[-1,-1],[1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[-1,1],[0,-1],[0,1],[-1,1],[-1,1],[-1,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[-1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[0,1],[-1,-1],[1,1],[0,-1],[1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,1],[0,0],[1,0],[1,1],[0,1],[1,0],[-1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,1],[1,1],[0,1],[-1,1],[0,0],[1,1],[1,0],[0,0],[-1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[0,1],[-1,-1],[1,1],[0,-1],[1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,1],[0,0],[1,0],[1,1],[0,1],[1,0],[-1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,1],[1,1],[0,1],[-1,1],[0,0],[1,1],[1,0]],[[1,-1],[-1,-1],[0,0],[0,-1],[-1,1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[-1,0],[-1,-1],[1,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[-1,1],[1,-1],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[1,-1],[0,-1],[1,-1],[-1,-1],[0,0],[0,-1],[-1,1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[-1,0],[-1,-1],[1,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,1],[1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[-1,1],[1,-1],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[1,-1],[0,-1]],[[1,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[1,1],[-1,0],[0,0],[-1,1],[1,0],[-1,1],[1,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,1],[-1,0],[1,1],[0,0],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[1,1],[-1,0],[0,0],[-1,1],[1,0],[-1,1],[1,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,1],[-1,0],[1,1],[0,0],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,1],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,-1],[-1,1],[0,-1],[1,-1],[0,1],[0,0],[1,0],[1,-1],[1,1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[1,1],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[0,1],[0,1],[1,-1],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,-1],[-1,1],[0,-1],[1,-1],[0,1],[0,0],[1,0],[1,-1],[1,1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[1,1],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[0,1],[0,1],[1,-1],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[1,1],[0,1],[-1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[0,1],[1,0],[1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,1],[1,1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[1,1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,1],[0,-1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,-1],[-1,-1],[1,1],[0,1],[-1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[0,1],[1,0],[1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,1],[1,1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[1,1],[-1,0]],[[1,-1],[1,-1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[-1,1],[1,0],[-1,-1],[1,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,1],[1,1],[1,-1],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[1,1],[0,1],[1,-1],[1,-1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[-1,1],[1,0],[-1,-1],[1,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,1],[1,1],[1,-1],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[1,1],[0,1]],[[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[1,1],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,-1],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[-1,1],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[1,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,1],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[0,0],[-1,-1],[0,-1],[1,-1],[1,1],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,1],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,-1],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[-1,1],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[1,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,1],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,1],[-1,-1],[0,1],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,1],[1,1],[-1,1],[0,1],[0,0],[-1,1],[1,0],[1,1],[1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,1],[1,0],[-1,1],[-1,0],[0,1],[-1,-1],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,1],[-1,-1],[0,1],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,1],[1,1],[-1,1],[0,1],[0,0],[-1,1],[1,0],[1,1],[1,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,1],[1,0],[-1,1],[-1,0],[0,1],[-1,-1],[1,-1],[1,0],[-1,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,1],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,1],[1,0],[0,0],[1,0],[-1,1],[0,0],[-1,0],[1,1],[-1,-1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[-1,1],[1,0],[0,0],[1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,1],[0,1],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,1],[1,0],[0,0],[1,0],[-1,1],[0,0],[-1,0],[1,1],[-1,-1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,-1],[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,-1],[1,1],[0,-1],[-1,1],[0,0],[-1,1],[1,0]]],"V":[[[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[1,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,1],[0,1],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[1,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,1],[0,1],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0]],[[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[1,0],[1,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,-1],[0,0],[1,0],[1,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0]],[[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[1,0],[1,1],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[1,0],[1,1],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0]],[[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,-1],[0,0],[0,-1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0]]],"W":[[[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,-1],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,0],[1,-1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,1],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[1,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[1,1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[-1,-1],[1,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[1,1],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[-1,0],[1,-1],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[0,1],[0,1],[0,1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[1,0],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,1],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,1],[0,1],[-1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,1],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,-1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,0],[1,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[0,1],[1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,1],[0,-1],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[1,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,1],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,1],[1,0],[1,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,-1],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,-1],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,-1],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,0],[1,-1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[1,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,1],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0],[-1,-1],[0,1],[0,0],[1,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[0,-1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[1,1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[-1,-1],[1,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[-1,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[1,1],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[-1,0],[1,-1],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,-1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,-1],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[0,1],[0,1],[0,1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[1,-1],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,-1],[0,1],[0,1],[-1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,-1],[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,1],[-1,-1],[0,0],[-1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0],[1,0],[0,1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[0,-1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,-1],[1,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[-1,0],[1,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[0,1],[1,0],[1,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,1],[0,-1],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[1,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[-1,0],[1,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[0,0],[1,0],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,1]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,-1],[0,-1],[-1,0],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,1],[1,0],[1,0],[0,1],[0,0],[1,0],[-1,0],[-1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,1],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,1],[0,-1],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[-1,0],[0,-1],[0,0],[0,1],[0,0],[0,0],[1,0],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,-1],[0,1],[0,0],[0,-1],[0,-1],[-1,0]],[[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,1],[0,1],[-1,0],[0,1],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[1,0],[0,-1],[1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[-1,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,0],[1,0],[1,0],[0,1],[0,0],[-1,0],[0,0],[-1,0],[-1,0],[0,0],[0,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,-1],[0,1],[1,0],[0,-1],[0,0],[0,-1],[0,1],[-1,0]]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-4x4x5-r61","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-61 decomposition of <4,4,5> over Z","dims":[4,4,5],"rank":61,"naive":80,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-4x4x5-r61: 4x4 times 4x5 in 61 multiplications VERIFIED over Q — all 6400 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,0,-1],[0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,-1,-1,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,1,0,-1,-1,0,-1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,1,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,-1,-1,0,0,0],[0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,1],[-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1],[1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0]],"V":[[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,-1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,1,-1,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,-1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,1,0,0,-1,0,-1,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,1,-1,1,1,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,-1,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0],[0,1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1],[0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,-1,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,-1,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,1],[0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1],[0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0],[0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0],[-1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-4x4x7-r85","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-85 decomposition of <4,4,7> over Z","dims":[4,4,7],"rank":85,"naive":112,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-4x4x7-r85: 4x4 times 4x7 in 85 multiplications VERIFIED over Q — all 12544 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,1,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,1,1,1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,0,0,1,1,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,1,-1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0],[0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,1,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1],[0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0],[1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0]],"V":[[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1],[0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,1,-1,-1,1,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,-1,-1,0,-1,0,0,1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,-1,-1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-4x5x6-r90","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-90 decomposition of <4,5,6> over Z","dims":[4,5,6],"rank":90,"naive":120,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-4x5x6-r90: 4x5 times 5x6 in 90 multiplications VERIFIED over Q — all 14400 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,1,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,1,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1],[0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,1,-1,1,0,0,0,1,-1,1,-1,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,1,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,1,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,1,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1]],"V":[[-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],[-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,1,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1],[0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0],[0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,-1,-1,0,0,-1,0,1,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],[0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,-1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,-1,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,-1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-2,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}},{"id":"ae-nb-5x5x5-r93","source":"AlphaEvolve (DeepMind, 2025; arXiv:2506.13131), Rank-93 decomposition of <5,5,5> over Z","dims":[5,5,5],"rank":93,"naive":125,"ring":"Q","layout":"CA","statement":"ae-nb-5x5x5-r93: 5x5 times 5x5 in 93 multiplications VERIFIED over Q — all 15625 tensor-identity equations hold exactly (layout CA)","U":[[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,-1,-1,-1,0,1,1,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0],[0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,1],[0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,1,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0]],"V":[[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,-1,0,-1,-1,0,0,1,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0],[0,0,1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,1,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0],[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,0,0,0,1,0,1,-1,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0],[1,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,1,0,-1,0,0,1,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,-1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0],[1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0]],"W":[[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0],[0,-1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,1],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,1,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0],[0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0],[0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,1],[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0],[-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,-1,0,-1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,-1,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,-1,0,1],[0,0,0,0,-1,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,-1,0,0,-1,0,0,0],[0,0,0,1,0,-1,1,0,-1,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,0]],"sourcePin":{"file":"alphaevolve_mathematical_results.ipynb","sha256":"2cce2543e48c89aa3e91614272a698a0147dd2548ea11cf92f1292b7435d38ff"}}],"generated":"2026-10-05T02:55:52.873Z","git":"a3004ba","node":"v24.14.1"}